Izzad's notes: Rumus Cepat Barisan dan Deret Aritmetika Bertingkat

Hi, Hello guys.. again I will share my observation towards you...

kali ini, gue ngebuat penelitian tentang rumus cepat matematika.. So here's :

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika adalah salah satu cabang ilmu utama atau bisa dikatakan “ibu suatu ilmu” dalam cabang sains dan teknologi . Matematika sangat diperlukan bagi kesejahteraan umat manusia karena peranannya yang sangat penting bagi kelangsungan hidup manusia, Bahkan, perkembangan teknologi itu tidak akan berkembang pesat tanpa disertai dengan matematika. Matematika dapat mempermudah pekerjaan manusia. Matematika tidaklah sesulit yang dibayangkan.

Barisan dan deret merupakan salah satu cabang dalam bidang ilmu matematika yang mempelajari tentang bilangan. Barisan bilangan adalah rangkaian bilangan yang disusun menurut aturan (pola) tertentu. Contohnya barisan bilangan ganjil, yaitu : 1,3,5,7,9,11…dan seterusnya. Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Contohnya deret bilangan ganjil, yaitu : 1+3+5+7+9+11…dan seterusnya. Barisan dan Deret Aritmetika sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-sehari seperti aturan penyusunan kursi acara, menentukan nomor rumah seseorang dan sebagainya.

Barisan terbagi atas barisan aritmetika dan barisan geometri. Tapi, kali ini penulis hanya ingin membahas mengenai Barisan Aritmetika. Barisan Arimetika adalah barisan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan. Artinya selisih (jarak) antarsuku itu nilainya selalu sama. Contohnya, yaitu : barisan 1,3,5,7,9 maka beda/selisih/jarak antarsuku dalam barisan ini adalah 2 karena selisih dari U₁ (1) dan U₂(3) = U₂-U₁ = 3 - 1 = 2. Maka, dapat dikatakan barisan ini adalah Barisan Aritmetika karena bedanya yang sama.

Salah satu cabang dalam Barisan Aritmetika adalah rumus persamaan jumlah deret aritmetika atau Sn. Persamaan (ekuasi) jumlah deret matematika biasanya dirumuskan dengan persamaan Sn = pn²+ qn. Dimana p dan q adalah masing-masing koefisien nilai dan Sn adalah jumlah n suku barisan aritmetika. Bentuk soal seperti ini biasanya, sering muncul pada soal-soal Ujian Nasional (UN) dan Seleksi Nasional ,Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).

Biasanya bentuk soal seperti ini yang diharuskan bagi siswa adalah menentukan rumus suku ke-n (Un), menentukan suku tertentu dan menentukan beda barisan (b) dari persamaan jumlah deret Barisan Aritmetika. Suatu persamaan jumlah deret suku ke-n Barisan Aritmetika yang dinyatakan dengan Sn = pn²+ qn, maka untuk menentukan rumus suku ke-n dari Barisan Aritmetika ini dapat dirumuskan dengan Un = S_n-S_n-1 yang kemudian dijabarkan hingga mendapatkan rumus suku ke-n dari Barisan Aritmetika tersebut kemudian beda barisan dapat ditentukan dengan menyelisihkan suku ke n (Un) dan suku sebelum suku ke- n (U_n-1).

Namun begitu diteliti rumus dasar ini (Un = S_n-S_n-1) adalah rumus yang begitu rumit dan kompleks, sehingga siswa dituntut untuk lebih teliti,cermat dan hati-hati dalam menjabarkan hasil dari rumus suku Un. Sehingga terkadang bentuk soal seperti ini dianggap cukup sulit hingga sulit bagi siswa SMA dan Sederajat. Apalagi bagi siswa yang memiliki kemampuan berhitung dan analisis serta kecermatan yang masih kurang. Dan apabila suatu soal seperti tipe ini dikerjakan oleh siswa dengan tingkat ketelitian yang kurang atau siswa yang boleh dikatakan bahwa kemampuan berhitung dan analisisnya rendah, maka kesalahan jawaban sangat jelas akan terjadi. Bahkan penulis pun menyadari akan hal ini

Nah, berdasarkan dari masalah ini mengenai jumlah suku ke-n deret aritmetika, penyebab utama masalahnya adalah rumus umum (reduksi) yang dipelajari itu sangatlah rumit dan sulit untuk dimengerti hal ini lah yang memperlambat siswa untuk menguasai kedua materi tersebut. Untuk mengatasinya, tidak hanya harus bersemangat dalam belajar matematika, tetapi usahakan temukanlah metode baru untuk pemecahan tersebut dengan menemukan suatu rumus baru, yang ringkas,cepat dan tepat serta mudah untuk dihafal dalam menyelesaikan masalah tersebut. Sehingga rumus ini nantinya dapat diterapkan dan ulasannya gampang untuk dipahami dan tidak ribet dan bertele-tele dan dapat disenangi oleh siswa.

Penulis ingin mengubah persepsi siswa bahwa matematika itu bukanlah momok yang menakutkan yang harus ditakuti, matematika itu sangat sederhana untuk dipelajari. Penulis juga ingin menemukan teknologi kemudahan dalam bidang metematika dengan menciptakan suatu rumus baru yang relevan, cepat, akurat dan dapat dipertanggungjawabkan. Maka dari sinilah, penulis berinisiatif untuk menentukan rumus-rumus yang efektif dalam menentukan jumlah suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) dalam persamaan jumlah deret suku ke-n yang dinyatakan dengan Sn = pn²+ qn.

Bertitik tolak dari masalah ini Penulis tergugah untuk menciptakan suatu karya ilmiah yang berjudul “KOMPLESI FORMULA SUKU (Un) DAN BEDA (b) DALAM EKUASI JUMLAH DERET ARITMETIKA (Sn = pn²+ qn) TANPA MENGGUNAKAN RUMUS REDUKSI”.

B. Rumusan Masalah

Dengan melihat latar belakang yang telah dikemukakan, maka

beberapa masalah yang dapat dirumuskan dan akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah :

1. Bagaimanakah rumus yang cepat,akurat dan tepat dalam menyelesaikan suatu soal dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b)?.

2.Bagaimanakah pembuktian/pertanggungjawaban dengan penggunaan rumus dari penulis dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) berdasarkan rumus dasarnya ?.

3. Seberapa efektifkah penggunaan rumus dari penulis dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) bila dibandingkan dengan rumus reduksi dasar ?.

C. Tujuan Penelitian

1. Untuk mengetahui rumus yang cepat,akurat dan tepat dalam menyelesaikan suatu soal dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b).

2. Untuk mengetahui pembuktian/pertanggungjawaban dengan penggunaan rumus dari penulis dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) berdasarkan rumus dasarnya.

3. Untuk mengetahui efektifitas penggunaan rumus dari penulis dalam menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) bila dibandingkan dengan rumus reduksi dasar.

D. Manfaat Penelitian

1. Untuk meningkatkan kemudahan dalam mengerjakan soal Barisan dan Deret Aritmetika terutama dalam hal menentukan rumus suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) dengan durasi yang cepat,tepat dan akurat.

2. Untuk menciptakan suatu teknologi yang mudah,cepat dan menyenangkan dalam bidang matematika khususnya, bidang Barisan dan Deret Aritmetika.

3. Mengubah perspektif siswa bahwa ternyata matematika itu sangatlah mudah dan menyenangkan.

4. Sebagai bahan referensi untuk peneliti lainnya agar selanjutnya penelitian ini dapat dikembangkan lebih sempurna.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA DAN KERANGKA PIKIR

A. Tinjauan Pustaka

1. Barisan Bilangan

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. Contoh :

1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dan seterusnya

2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dan seterusnya

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U_3,…..Un maka U₁ + U₂ + U₃+… +Un adalah deret. Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + Un

2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

     Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini : 1, 2, 4, 7, 11, ...
Artinya :Suku pertama ditulis   U₁ = 1
              Suku ke-dua ditulis     U₂ = 2
              Suku ke-tiga ditulis     U₃ = 4
              Suku ke-empat ditulis U₄ = 7
              Dan seterusnya ...
              Suku ke-n ditulis U_n

Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”

”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”. Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus U_n. Contoh barisan bilangan khusus antara lain :

· Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ...
Rumus suku ke-n adalah U_n = n
Suku ke-10 adalah U₁₀ = 10

· Barisan Bilangan Genap :2, 4, 6, 8, ... Rumus suku ke-n adalah U_n = 2n.Suku ke-20 adalah U₂₀ = 2 x 20 = 40

· Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ... Rumus suku ke-n adalah U_n = 2n – 1. Suku ke-15 adalah U₁₅ = 2 x 15 – 1 = 29

· Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ... Rumus suku ke-n adalah U_n = n² . Suku ke-12 adalah U₁₂ = 12² = 144

Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :

· Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ...

Rumus suku ke-n adalah U_n = n(n+1) Suku ke-8 adalah U₈ = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72

· Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ... Rumus suku ke-n adalah U_n = ½ n(n+1) Suku ke-10 adalah U₁₀ = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55

· Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal

Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya. Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1= 1 = 2⁰ = 2^1-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1= 2 = 2¹ = 2^2-1

Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2² = 2^3-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ = 2^4-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2^n-1

2. Barisan Aritmetika

A. Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b.Keterangan :U1 = a = suku pertama
Un-Un-1 = beda = b

Un=sukuke-n
n=banyaknya suku/urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n=1,2,3,……
B. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).Contoh:

Tulis rumusnya 2,3,4,…

Penyelesaian :
a=2
b=3-2=1
Un=a+(n-1)b
Un=2+(n-1)1
Un=2+n–1
Un=n-1
C. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan pembentukan barisan bilangan. Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian: a = 2. b = 5-2 = 3. Un = a + (n-1)

b=2+(20-1)3=2+60–3=59
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut : a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1). sehingga diperoleh hubungan: Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal, maka: Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
D. Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan. Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:

Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….
Keterangan : a = suku ke-1 barisan mula-mula

b = suku ke-1 barisan tingkat satu ,c = suku ke-1 barisan tingkat dua,

d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya

3. Deret Bilangan

Deret adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan (deret hitung atau deret Aritmetika) atau mengalikan (deret ukur atau deret geometri) bilangan sebelumnya dengan sebuah bilangan konstan yang bukan nol.

4. Deret Aritmetika

Jika merupakan barisan aritmatika, maka

merupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan .
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:

atau karena maka

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku dimana maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

Keterangan:

5. Hubungan Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika

          Bagaimana mencari Sn atau mencari rumus Jumlah suku n untuk barisan Aritmetika bertingkat ?. Pada dasarnya mencari rumus Sn dari aritmatika bertingkat ( termasuk juga aritmatika biasa tidak bertingkat ), selalu bisa dilakukan dengan memakai tips semacam ini : Sn pada barisan aritmatika biasa atau bertingkat selalu bisa dihitung memakai Un dengan barisan aritmatika setingkat di atasnya. Untuk Menghitung Sn aritmatika biasa identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 2. Untuk menghitung Sn aritmatika bertingkat 2, identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 3
Untuk menghitung Sn aritmatika bertingkat 3, identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 4. demikian seterusnya. Contoh : Ada barisan Arimatika biasa (tidak bertingkat ) semacam ini : 2        4        6         8        10.
Un = a + ( n-1 ) b = 2 + ( n - 1 ) 2 = 2 + 2n - 2
Un = 2n. Sn sudah ada rumusnya yaitu 1/2 n ( a + Un ) = 1/2 n ( 2 + 2n )
Sn = pn² + qn    =  qn   + pn².

          Hasil Sn yang diperoleh juga persis sama yaitu n²+n. Jadi selain memakai rumus Sn standar, Sn barisan aritmatika biasa, bisa juga dicari dengan memakai Un barisan aritmatika bertingkat . Tips ini berlaku untuk semua barisan aritmatika bertingkat berapapun.
Jadi misalnya untuk menghitung Jumlah suku ke n ( Sn ) barisan arimatika bertingkat 3, buat dulu barisan Sn, ini identik dengan menghitung Un bertingkat 4, lalu anda gunakan rumus suku ke n ( Un ) barisan aritmatika bertingkat 4 untuk menyelesaikannya. Contoh : Anggap saja ada soal begini : Carilah Sn atau rumus jumlah suku n untuk barisan di bawah ini
1        17        69         181       377          681
Yang ingin dicari dari barisan di atas adalah Sn ya, bukan Un. Jadi kita buat saja dulu barisan Sn 1        18         87         268        645        1326.

Perhatikan bahwa !. Mencari Sn dari 1, 17, 69, 181, 377, 681 adalah identik dengan mencari Un dari 1, 18, 87, 268, 646, 1326.

cari rumus suku ke n atau Un dari barisan Sn tersebut.
Kita bisa saja memakai rumus spesial suku n atau Un aritmatika pangkat 4 karena hasilnya berpangkat 4, atau bisa juga memakai rumus umum barisan aritmatika bertingkat berapapun, seperti yang ada di sini : a = 1, b = 17, c = 52, d = 60, e = 24. Un dari barisan Sn tersebut :

Tinggal dimasukkan : a, b, c, d, e

Jika persamaan di atas disederhanakan hasilnya adalah

Hasil tersebut adalah Un untuk 1, 18, 87 , 268, 645, 1326
yang identik dengan Sn dari : 1, 17 ,69 , 181, 377, 681.

6. Teori Pendukung Jumlah (Sn) Bilangan Bertingkat

A. Teori Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang sistem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama dan juga sumbangsinya pada teori bilangan aritmetika terutama pada jumlah (Sn) pada bilangan bertingkat.

1. Persamaan umum untuk mencari suku ke–n pada Barisan aritmatika tingkat dua Un = + +
dengan m₀ := suku awal pada barisan semula

m₁ := suku awal pada barisan tingkat pertama yang dibentuk
m₂ := suku awal pada barisan tingkat kedua yang dibentuk atau beda konstan yang diproleh

B. Teori Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 – 23 Februari 1855).

Gauss sangat berjasa pada bidang matematika, tepatnya pada teori deret aritmetika Gauss adalah matematikawan, astronom,danfisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan diBraunschweig,Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampumengoreksi kesalahan daftar gajitukang batu ayahnya.

Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu

Jumlah Semua Suku Pada Deret

Alkisah, Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbaik dan yang paling berpengaruh sepanjang masa, menemukan metode untuk menghitung nilai dari ketika beliau masih berusia 10 tahun. Metode yang diperkenalkan oleh Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini. Untuk menghormati jasa beliau, metode ini dinamai metode Gaussian.

Metode Gaussian adalah sebagai berikut :

Lantas, bagaimana caranya menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik?

Untuk menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik, kita a kan meminjam metode Gaussian ini sebentar :

Dengan demikian kita peroleh rumus untuk menghitung total nilai seluruh suku pada deret aritmatika, yaitu . Dimana :

menyimbolkan jumlah (sum) dari suku-suku pada deret. menyimbolkan suku pertama pada deret. menyimbolkan suku terakhir pada deret. menyimbolkan banyaknya suku pada deret.

Karena deret aritmatika berbentuk maka kita boleh saja meng-asumsikan bahwa ada suku yang letaknya berada di rentang (well-order principle) sehingga deret aritmatika dapat dituliskan sebagai .

Sekarang jika kita pandang secara parsial (sebagian), yakni deret kita mulai dari suku ke-m, maka kita memperoleh deret baru, yaitu

B. Kerangka Pikir

Jumlah Suku ke-n (Sn)

Rumus Reduksi

Rumus Baru

Beda Barisan (b)

Matematika

Barisan dan Deret

Barisan dan Deret Aritmetika Bentuk Sn = pn²+qn

Rumus baru ini diciptakan pada bidang ilmu matematika dalam subbab barisan dan deret yang secara terperinci dijelaskan pada barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn²+qn. Dalam bentuk soal seperti ini kemudian akan ditentukan jumlah suku ke-n (Sn) dan beda barisan (b) dengan menggunakan rumus dasar atau rumus reduksi yang kemudian dimodifikasi sedemikian rupa menjadi rumus yang lebih singkat dan tepat serta efisien dalam hal waktu pengerjaan soal yang penulis sebut dengan Rumus Baru.

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif kualitatif yakni penelitian yang bertujuan untuk memberikan gambaran dan perbandingan atas penggunaan efektifitas dari rumus baru untuk menentukan rumus suku ke- n (U_n) dan beda (b) dibandingkan dengan rumus reduksi dan diteliti dengan berbagai teknik.

B. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian yang dilakukan mengambil lokasi atau tempat di sekitar Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar tepatnya berada di Jalan Taman Makam Pahlawan No. 4, Makassar, Sulawesi Selatan dan Bimbingan Belajar Jakarta Intensive Learning Centre (JILC) Cabang Pongtiku, Jalan Pongtiku No.24,Makassar, Sulawesi Selatan. Waktu Penelitian berlangsung selama 03 sampai 23 Mei 2013.

C. Populasi dan Sampel

Pada penelitian ini populasi yang diteliti adalah siswa-siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar dan sekolah lain. Sedangkan untuk sampelnya yaitu 1 orang siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar dan 2 orang siswa Sekolah lain.

D. Data dan Sumber Data

1. Data

Data penelitian ini adalah perbandingan efektifitas rumus antara rumus reduksi yang digunakan oleh siswa-siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar dan rumus baru dari penulis.

2. Sumber Data

Sumber data dalam penelitian ini adalah penggunaan rumus antara rumus reduksi responden (Siswa-siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar) dan rumus baru penulis.

D. Teknik Pengumpulan Data

Data yang dikumpulkan adalah perbandingan efektifitas rumus antara rumus reduksi yang digunakan oleh siswa-siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar dan rumus baru dari penulis. Pada penelitian ini, peneliti menggunakan teknik observasi, teknik pengerjaan soal, teknik perbandingan, dan teknik kepustakaan. Penggunaan teknik itu sangat kondusif dan situasional dengan pendekatan penelitian yang diakukan (deskriptif kualitatif).

1. Teknik observasi langsung, yaitu teknik yang dilakukan dengan mengamati dan mencatat secara sistematik unsur-unsur yang tampak dalam suatu gejala atau gejala-gejala pada objek penelitian. Dalam melakukan penelitian, peneliti melakukan pengamatan langsung di lapangan dengan menggunakan teknik catat. Orientasi observasi diarahkan pada penggunaan rumus siswa-siswi Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Makassar (responden) dan rumus dari penulis.

2. Teknik pengerjaan soal adalah teknik yang dilakukan dengan memberikan beberapa soal-soal matematika yang relevan dengan unsur-unsur penelitian dan responden diminta untuk mengerjakan soal tersebut dan juga penulis juga diminta untuk mengerjakan soal tersebut dengan rumus dan cara pengerjaan masing-masing yang selanjutnya akan dibandingkan.

3. Teknik perbandingan adalah teknik yang dilakukan dengan membandingkan hasil dari proses teknik pengerjaan soal. Disini akan dibandingkan efektifitas, efisiensi waktu dan keakuratan jawaban serta berbagai kualitas lainnya antara cara pengerjaan soal dengan menggunakan rumus reduksi responden dan rumus baru penulis.

4. Teknik kepustakaan. Teknik yang digunakan dengan cara pengambilan data-data yang akan digunakan dalam penelitian bersumber dari literatur-literatur, buku, maupun sumber data yang diperoleh di luar dari hasil temuan lapangan yang masih relevan

E. Teknik Analisis Data

Penelitian ini tergolong penelitian analisis deskriptif kualitatif. Oleh karena itu, semua data dan informasi yang telah dikumpul dideskripsikan secara objektif. Pada penelitian kali ini, analisis data akan dilakukan dengan cara membuat tabel unsur-unsur perbandingan efektifitas rumus yang digunakan antara responden dan penulis serta dianalisis pula dengan memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan yang akan dibandingkan dengan dua versi yaitu, versi dari responden dan versi dari penulis

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Penelitian

1. Rumus yang Cepat,Akurat dan Tepat dalam Menyelesaikan Suatu Soal dalam Menentukan Rumus Suku Ke-n (Un) dan Beda Barisan (b)

Setelah melakukan penelitian berdasarkan metode-metode yang digunakan. Maka, Rumus cepat yang digunakan oleh penulis untuk mengerjakan soal barisan dan deret bentuk Sn= pn²+qn adalah :

Un = S₁ + (n-1) 2p

Un = 2pn + (q – p )

a. untuk menentukan rumus suku ke-n penulis menggunakan dua rumus :

dan

Keterangan :

p = koefisien dari persamaan Sn yaitu pn²

q = koefisien dari persamaan Sn yaitu qn

S₁= jumlah suku pertama dari persamaan Sn

n = suku yang ingin ditentukan (1,2,3…)

b = 2p

b. Untuk menentukan beda barisan (b) penulis menggunakan rumus :

2. Pembuktian/pertanggungjawaban dengan Penggunaan Rumus dari Penulis dalam Menentukan Rumus Suku Ke-n (Un) dan Beda Barisan (b) Berdasarkan Rumus Dasarnya

Untuk membuktikan keabsahan rumus yang digunakan, penulis memaparkan pertanggungjawaban rumusnya atau proses modifikasi rumus sehingga didapatkan rumus baru :

a. Pembuktian rumus : Un = 2pn + qn

Rumus ini merupakan hasil modifikasi dari rumus dasar dari Un = S_n-S_n-1

Sn = pn²+qn

Un = S_n-S_n-1

Un = (pn²+qn) – (p(n-1)²+ q(n-1))

Un = (pn²+qn) – ( p (n²-2n+1) + qn – q)

Un = (pn²+qn) – (pn²-2pn + p + qn – q)

Un = pn²+qn – pn²+ 2pn – p – qn + q

Un = 2pn + (q- p)

Un = 2pn – p +q

b. Pembuktian rumus : b = 2p

Apabila diteruskan rumus dari Un = 2pn + (q- p) maka akan didapatkan beda barisan :

b = U₂-U₁( eliminasi suku ke -2 (U₂) dan suku pertama (U₁)

U₂ = 2pn + (q- p) = 2p(2) + (q-p) = 4p + q – p = 3p + q

U₁ = 2pn + (q- p) = 2p(1) + (q-p) = 2p + q – p = p + q

b = 2p

U₂– U₁ = 2p

c. Pembuktian rumus : Un = S₁ + (n-1) 2p

Un = a + (n-1) b

Rumus ini merupakan hasil analogi dari rumus dasar untuk mencari rumus suku ke-n (Un) barisan aritmetika yaitu rumus :

Keterangan :

a = suku pertama (U₁)

b = beda barisan

n = suku yang ingin ditentukan (1,2,3…)

maka hasil analogi dari rumus ini adalah dengan menganalogkan a yaitu suku pertama dengan S₁ jumlah pertama suatu suku aritmetika karena a dan S₁ memiliki nilai yang sama, contohnya :

barisan aritmetika : 3,5,7,9,… (beda = 2)

Tentukan :

suku awal (a) dan jumlah suku pertama (S₁)

a = 3

Sn = ( 2a + (n-1) b )

S₁= ( 2(3) + (1-1) 2)

a = S₁

= ( 6) = 3

Kesimpulan :

kemudian hasil pembuktian dari rumus barisan bilangan bentuk Sn= pn²+qn didapatkan rumus : b = 2p , maka :

Un = a + (n-1) b (Rumus Dasar untuk Bilangan Aritmetika)

Un = S₁ + (n-1) 2p

dianalogkan menjadi :

a = p + q

Selain itu juga penulis menemukan rumus lain seperti :

Keterangan : a = Suku awal pada barisan aritmetika biasa

p = Koefisien pn² pada barisan aritmetika bertingkat bentuk Sn

q = koefisien qn pada aritmetika bertingkat bentuk Sn

3. Efektifitas Penggunaan Rumus dari Penulis dalam Menentukan Rumus Suku Ke-n (Un) dan Beda Barisan (b) Bila Dibandingkan dengan Rumus Reduksi Dasar.

Untuk menguji efektifitas dan perbandingan efektifitas antara rumus penulis dengan rumus reduksi dari responden penulis memberikan 4 buah soal dengan berbagai variasi untuk menentukan suku ke-n (Un) beda barisan (b) yang akan dikerjakan masing-masing dari versi responden dan versi penulis yang diukur waktu pengerjaannya. berikut adalah soalnya :

Soal 1 : Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan oleh Sn = 2n²- 3n. Suku ke-8 deret tersebut adalah ….(Prediksi UN-Erlangga Fokus UN-2013)

a. 77 b. 57 c. 44 d. 34 e. 27

Versi Responden :

Sn = 2n²- 3n

Un = S_n – S_n-1

U₈ = S₈ - S₇

U₈ = (2(8)²- 3 (8)) – (2(7)²- 3(7))

U₈= (128-24) – (98-21)

U₈ = 104 – 27 = 27

Jawaban : E (Waktu : 55 detik)

Nama responden :

Muhammad Faisal B

(SMK Telkom Sandy Putra 2)

Versi Penulis :

Cara 1 : Un = 2pn + (q-p)

U₈ = 2(2)(8) + (-3-2)

U₈ = 32 – 5 = 27 , Jawaban : E

(Waktu : 17 Detik)

Cara 2 : Un = S₁ + (n-1) 2p

U₈ = (2-3) + (8-1) 2 (2)

U8 = -1 + 28 = 27 , Jawaban E

(Waktu : 16 detik)

Soal 2 : Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah

Sn = n²+3n. Tentukan : (LKS Tuntas Matematika Kelas XII-2013)

Versi Penulis :

a) Cara 1: Un = S₁ + (n-1) 2p

Un = (1+3) + (n-1) 2(1)

Un = 4 + 2n-2 = 2n +2

Waktu : 15 Detik

Cara 2 : Un = 2pn + (q-p)

Un = 2(1)(n) + (3-1) = 2n + 2

Waktu : 13 Detik

b) b = 2p = 2(1) = 2

Waktu : 3 Detik

c) Cara 1 : U₂+U₄ = (2n +2) + (2n+2)

= (2(2)+2) + (2(4)+2) = 6 + 10 = 16

Waktu : 16 Detik

Cara 2 : U₂+ U₄ = 2a + 4b

= 2 (p+q) + 4(2p) = 2 (1+3) + 4(2)

= 8 + 8 = 16

Waktu : 20 Detik

Waktu Tercepat : 32 Detik

Waktu Terlama : 38 Detik

Versi Responden :

a) Un = S_n - S_n-1

Un = (n²+3n) – ((n-1)²+ 3(n-1))

Un = (n²+3n) – (n²- 2n +1+3n-3)

Un = n²+3n – n²– n +2

Un = 2n + 2

Waktu : 37 Detik

b) b = U₂-U₁

b = (2n +2) – (2n+2)

b = (2(2) + 2) – (2(1)+2)

b = 6 – 4 = 2

Waktu : 13 Detik

c) U₂+U₄ = (2n +2) + (2n+2)

= (2(2)+2) + (2(4)+2) = 6 + 10 = 16

Waktu : 16 Detik

Total Waktu : 66 Detik

Nama Responden : Yulianto

SMA Negeri 4 Makassar

a) Rumus suku ke-n b.) Beda deret tersebut c.) Nilai U₂+U₄

Soal 4 : Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh

Versi Penulis :

b = 2p

= 2( )

= 5

Waktu : 5 Detik

Versi Responden :

Un = S_n-S_n-1

Un = ( (5n-19)) – ( (5(n-1)-19)

Un = ( ) – ( )

Un =

Un = (2n-1)

b = U₂-U₁

= ( (2n-1)) - ( (2n-1))

= ( (2(2)-1) – ( (2(1)-1)

= (4-1) - (1)

= - = = 5

Waktu : 100 Detik

Nama responden :

Muhammad Faisal B

(SMK Telkom Sandy Putra 2)

Sn = (5n-19). Tentukan beda deret tersebut !. (LKS Tuntas Matematika) kelas XII-2013)

Soal 5 : Dari suatu deret diketahui Sn = 3n²- 15n. Jika U_n = 0 , maka n = ….

(Matematika IPA Kelas 3-Bailmu-2013)

Versi Penulis :

Cara 1 : Un = S₁ + (n-1) 2p

Un = (3-15) + (n-1) 2(3)

Un = -12 + 6n-6

0 = 6n-18

6n = 18

n= 3

Waktu : 22 Detik

Cara 2 : Un = 2pn + (q-p)

0 = 2(3)n + (-15-3)

0 = 6n-18

6n = 18

n= 3

Waktu : 20 Detik

Versi Responden :

Un = S_n-S_n-1

Un = (3n²- 15n) – (3(n-1)²- 15(n-1))

Un = (3n²- 15n)-(3n²-6n+3-15n+15)

Un = (3n²- 15n) - (3n²-21n+18)

Un = -15n + 21n -18

Un = 6n-18

0 = 6n-18

6n = 18

n = 3

Waktu : 62 Detik

Nama Responden : Mentari Tahir

(SMA Negeri 5 Makassar kelas XII IPA 4)

Kesimpulan :

Nomor Soal	Waktu Responden (Detik)	Waktu Penulis (Detik)	Selisih waktu (Detik)
1	55	17 atau 16	38 atau 39
2	66	38 atau 32	28 atau 34
4	100	5	95
5	62	22 atau 20	40 atau 42

B. Pembahasan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan, maka dapat dijawab ketiga rumusan masalah diatas. Bahwa rumus baru yang diciptakan penulis dalam memecahkan soal barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn²+qn, terbagi atas dua yaitu rumus untuk mencari suku ke-n (Un) dan mencari beda barisan (b).

Untuk mencari suku ke-n (Un) penulis menggunakan rumus Un = 2pn + (q – p ) atau Un = S₁ + (n-1) 2p. Sedangkan untuk menentukan beda barisan penulis menggunakan rumus b=2p dan memang terbukti bahwa rumus ini cukup cepat,tepat, dan akurat dalam memecahkan tipe soal bilangan bertingkat (bentuk pn²+qn). Rumus inilah yang akan penulis paparkan pada karya ilmiah ini.

Rumus Un = 2pn + (q – p ) merupakan hasil modifikasi dari rumus dasar untuk mencari suku ke-n (Un) yaitu rumus Un = S_n - S_n-1 (Proses modifikasi rumus dapat dilihat pada bab empat Hasil dan pembahasan di sub Hasil Penelitian halaman 17-19). Sedangkan rumus b=2p merupakan hasil modifikasi dari rumus Un = 2pn + (q – p ) (Proses modifikasi dapat dilihat pada bab empat Hasil dan pembahasan di sub Hasil Penelitian halaman 18). Sedangkan pada rumus Un = S₁ + (n-1) 2p merupakan rumus hasil analogi dari rumus dasar mencari suku ke-n (Un) dari barisan aritmetika yang biasa yaitu rumus Un = a + (n-1) b.

Rumus Un = a + (n-1) b memiliki karakteristik yang sama dengan rumus Un = S₁ + (n-1) 2p, dengan menganalogkan jumlah suku pertama S₁ sama dengan suku awal a dan dari rumus sebelumnya didapatkan b=2p sehingga diperolehlah rumus Un = S₁ + (n-1) 2p. Rumus ini cukup efektif dalam mengerjakan soal barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn²+qn karena bisa dilihat dari segi efisiensi waktunya yg cukup cepat dan akurat dalam memecahkan soal.

Efisiensi waktu dalam pengerjaan soal sangat begitu efisien karena bisa dilihat dari tabel kesimpulan pengerjaan soal selisih jarak yang cukup besar antara pengerjaan soal versi responden dan versi penulis menunjukkan bahwa versi dari penulis lebih cepat daripada versi dari responden sedangkan jenis soal sama dan waktu memulai pengerjaannya bersamaan.

Pengukuran efisiensi metode pengerjaan soal penulis apabila diterapkan pada pengerjaan Ujian Nasional (UN) dapat diukur dengan jumlah soal = 40 , waktu pengerjaan = 120 menit , 1 soal = 3 menit = 180 detik . maka apabila bentuk soalnya seperti nomor 1 tadi maka efisiensinya dapat diukur :

efisiensi (%) = X 100 %

maka, apabila soal nomor 1 dikerjakan selama 17 detik maka :

selisih waktu pengerjaan = batas maksimal-waktu pengerjaan

= 180 - 17 = 163

efisiensi = X100 % = 90,5 %

maka efisiensinya sangat cepat,tepat,dan akurat karena mampu mencapai 90 % keefektifan dan efisiensi rumus yang digunakan oleh penulis.

Kemudian apabila rumus penulis ini diterapkan pada Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) ataupun Ujian Mandiri (UM) lainnya, seperti SIMAK UI, UM UGM dan sebagainya , jika diketahui jumlah soal pada Tes bidang studi diberikan waktu 60 menit untuk Matematika IPA,Fisika,Kimia dan Biologi berarti pembagian rata untuk waktu masing-masing bidang studi adalah 15 menit, 15 menit pengerjaan untuk soal Matematika IPA sedangakan soal Matematika IPA ada 15 soal berarti tiap waktu pengerjaannya adalah 1menit atau 60 detik.

Maka apabila soalnya, seperti soal pilihan 1,2,3,4 seperti contoh soal nomor 2 (lihat halaman 21) maka :

Selisih waktu = 60 - 28 = 32 detik , atau selisih waktu = 60-34 = 26

Efisiensi = X100 % = 53,33 % atau Efisiensi X100 % = 43,33 %

Maka bisa disimpulkan bahwa efisiensi waktu sebesar 53,33 % dan 43,33 % sudah dapat dikatakan cukup baik apalagi dengan soal setingkat SBMPTN yang kebanyakan persepsi siswa sangat sulit untuk dikerjakan.

Kemudian, masih dalam soal SBMPTN dan UM, apabila bentuk soalnya pilihan ganda yang bentuknya seperti nomor 4, maka efisiensi waktunya :

Selisih waktu = 60 -5 = 55 detik

Efisiensi = X 100 % = 92 % (Pembulatan).

Efisiensi yang demikian itu adalah efisiensi waktu yang sudah luar biasa dalam soal setingkat SBMPTN dan UM.

Jika melihat efektifitas dan efisiensi waktu yang telah dipaparkan, maka sudah tidak diragukan lagi rumus mencari suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) pada barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn²+ qn yang dipaparkan oleh penulis cukup efektif dalam mengerjakan soal-soal barisan dan deret aritmetika bentuk pn² + qn.

Manfaat rumus baru yang diciptakan oleh penulis ini sangat berguna untuk mengefisiensikan waktu pada pelaksanaan tiap ujian baik itu ujian harian,semester,nasional atau SBMPTN sehingga cukup banyak waktu luang untuk mengerjakan soal yang lainnya.

Selain itu, manfaat lainnya adalah kita dapat mengubah persepsi kita bahwa matematika itu sulit sehingga dengan rumus yang dipaparkan oleh penulis dapat mempermudah para pembaca untuk memahami dan memecahkan soal matematika, khususnya barisan dan deret aritmetika bilangan bertingkat atau bentuk Sn = pn² + qn.

Dengan adanya rumus cepat yang diciptakan oleh penulis, pembaca mampu mengerjakan dengan mudah sol matematika barisan dan deret bertingkat sehingga kita bisa mencintai matematika, tidak menganggap matematika itu sulit.

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan penyajian hasil analisis data dan pembahasan, disimpulkan hasil karya ilmiah ini, yaitu:

1. Rumus cepat,tepat, dan akurat yang digunakan dalam menyelesaikan rumus suku ke-n (Un) adalah Un = 2pn + (q – p ) atau menggunakan rumus Un = S₁ + (n-1) 2p. Sedangkan untuk menentukan rumus beda barisan, rumus yang digunakan adalah b = 2p.

2. Rumus Un = 2pn + (q – p ) merupakan rumus ini diperoleh dari modifikasi dari rumus dasar yaitu Un = S_n-S_n-1 (proses modifikasi bisa dilihat pada halaman 18). Rumus Un = S₁ + (n-1) 2p merupakan rumus yang diperoleh dengan menganalogikan rumus dasar mencari suku ke-n (Un) barisan aritmetika biasa yaitu Un = a + (n-1) b (proses analogi bisa dilihat pada halaman 18-19). Rumus b = 2p diperoleh dari hasil modifikasi rumus Un = 2pn + (q-p) (proses modifikasi dapat dilihat pada halaman 18).

3. Efektifitas rumus Un = 2pn + (q – p ) , Un = S₁ + (n-1) 2p , dan b = 2p yang dipaparkan penulis memiliki efektifitas waktu yang cukup baik karena mampu mengefisienkan waktu dalam pengerjaan soal serta memiliki tingkat keakuratan dan ketepatan jawaban yang cukup baik. Hal ini, bisa dilihat dari perbandingan waktu yang digunakan oleh penulis dan responden dalam memecahkan soal dengan menggunakan rumus masing-masing dengan jenis soal yang sama (lihat pada halaman 23). Selain itu juga, persentase keefektifan waktu dengan menggunakan rumus dari penulis pada soal setingkat UN dan SNMPTN sudah cukup baik (lihat pada halaman 25).

B. Saran

Sesuai dengan hasil penelitian ini diajukan saran sebagai berikut:

1. Diharapkan dengan adanya rumus yang dibuat oleh penulis dapat mempermudah pengerjaan soal barisan dan deret aritmetika bertingkat (bentuk Sn = pn² + qn).

2. Diharapkan dengan adanya rumus yang dibuat oleh penulis dapat mengubah persepsi siswa bahwa matematika itu menyenangkan.

3. Diharapkan dengan adanya rumus yang dibuat oleh penulis dapat disempurnakan lagi dan dapat diaplikasikan dalam pengerjaan soal.

DAFTAR PUSTAKA

Atnamatika.2013.Deret Aritmetika dan Geometri.http://atnamatika.wordpress.com /2013/01/13/deret-aritmatika-dan-geometri/ diakses pada tanggal 10 Mei 2013

Chrissanti,Isabella. 2011. Pilihan Terbaik Matematika. Jakarta : Mata Elang Media.

Pufi,Fajar .2010. Barisan dan Deret Aritmetika. http://cipi7s.blogspot.com /2010 / 01/barisan-dan-deret-aritmatika.html diakses pada tanggal 10 Mei 2013.

Rahmantika,Rahma.2011.Definisi Barisan. http://rahmarahmaantika.blogspot.com /2011/06/barisan-dan-deret-definisi-barisan.html diakses pada tanggal 10 Mei 2013.

Subandar,Jozua. 2009. Matematika SMA/MA Kelas XII Program IPA. Jakarta : Bailmu.

Triyanto,dkk. 2013. Tuntunan ke Universitas : Matematika IPA untuk SMA/MA Kelas XII. Jakarta : Graha Pustaka.

Ummu.Amanda.2011.Matematika : Barisan dan Deret. http://amandha-ummu .blogspot.com/2011/01/pola-barisan-bilangan.html diakses pada tanggal 10 Mei 2013.

Yinyang.2013.Hubungan Barisan dan Deret. http://www.matematikayinyang.com /2012/03/hubungan-un-dan-sn-barisan-aritmatika.html diakses 10 Mei 2013.

Izzad's notes

Senin, 12 Agustus 2013

Rumus Cepat Barisan dan Deret Aritmetika Bertingkat

1 komentar: